Differentialgeometrie: Kurven — Flächen — Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Kühnel

By Wolfgang Kühnel

Dieses Buch ist eine Einf?hrung in die Differentialgeometrie. Zun?chst geht es um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Fl?chen, bevor dann in der zweiten H?lfte h?herdimensionale Fl?chen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel "Die innere Geometrie von Fl?chen". Dieses f?hrt den Leser bis hin zu dem ber?hmten Satz von Gau?-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite H?lfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschluss bildet ein Kapitel ?ber "Einstein-R?ume", die eine gro?e Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" als auch in der Allgemeinen Relativit?tstheorie von A. Einstein haben. Es wird gro?er Wert auf Anschaulichkeit gelegt, was once auch durch zahlreiche Abbildungen unterst?tzt wird.
F?r die zweite Auflage wurden alle Kapitel gr?ndlich ?berarbeitet. Hinzu kamen einige neue ?bungsaufgaben und zus?tzliche Abbildungen.

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QEivalenzklasse von parametrisierten Flächenstücken, wobei wir f: U _~ ]R3 und f: U _~ ]R3 als äquivalent ansehen, wenn es einen Diffeomorphismus

X, Y) := (X, Y) für zwei Tangentialvektoren X, Y E Tuf [bzw. TpM]. In parametrisierter Form kann man das auch als eine symmetrische Bilinearform auf TuU auffassen, also als die Abbildung TuU X TuU 3 (V, W) t-t (D flu(v), Dflu(W) ). Auch dies wird oft einfach als erste Fundamentalform bezeichnet und mit [ oder auch mit D f . D f oder df . df oder df l8i df bezeichnet. 40 3 Lokale Flächentheorie BEMERKUNGEN: In Koordinaten f(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) wird die erste Fundamentalform durch die folgende symmetrische und positiv definite Matrix beschrieben: ( ..

In diesem Sinne ist dann auch die inverse Abbildung (D IIJ- 1 auf der Tangentialebene Tul erklärt und ist ebenfalls ein Isomorphismus. (ii) Die Abbildung L := -Dv 0 (D 1)-1 mit heißt Weingartenabbildung oder Form-Operator von f. Für jeden Parameter u ist dies ein linearer Endomorphismus der Tangentialebene im zugehörigen Punkt I(u). h. bis aufs Vorzeichen) und selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform I. :::2 BEWEIS: (i) folgt einfach aus 0 = a~. (v, v) = 2( :::. , v). Daher stehen :::, und senkrecht auf der Normalen.

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