Differential- und Integralrechnung II: Differentialrechnung by Hans Grauert, Ingo Lieb, Wolfgang Fischer

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Abbildungen Ist jedem Punkt! ) E Rm zugeordnet. so sagt man, es sei eine Abbildung F von M in den Rm gegeben, in Zeichen F: M _Rm. ) •... »; die 1# sind auf M definierte reelle Funktionen. wir nennen sie die Komponenten der Abbildung F. • Im auf M eRn gegeben. so wird durch die Zuordnung! ) • ... » E Rm eine Abbildung F: M -+ Rm erklärt. deren Komponenten gerade die 1# sind. - Im Falle m = 1 ist eine Abbildung offenbar dasselbe wie eine reelle Funktion. Ist eine Abbildung F: M -+]Rm gegeben (M e ]Rn).

U (~~) schon M überdecken. Setzen wir AO = max(Ao(~~), ... , AO(~~», so gilt für jedes ~ m EU U (~;) n p=l M = IF(~) -1,d~)1 M und jedes A ~ AO < 8. Daraus folgt die Behauptung. Für kompaktes M folgt aus der kompakten Konvergenz trivialerweise die gleichmäßige. Auf kompakten Mengen sind also die Begriffe "gleichmäßig konvergent", "lokal gleichmäßig konvergent" und "kompakt konvergent" gleichbedeutend. 6 Eine aul M lokal gleichmäßig konvergente Funktionenlolge (I;,) konvergiert kompakt aul M. Beweis.

Gegen a strebt. Die reellen Funktionen fund g seien auf M c Rn definiert und in 60 E M stetig. 3 sieht. Die durch (f . ;) . ;) auf M definierte Funktion f . 3 folgt. ;) *' O} durch (1)g (6) = f(,~) g(l;) definierten Funktion I/g in 60. Konstante Funktionen /(6) c sind auf ganz Rn definiert und stetig; dasselbe gilt für die Funktionen f~(x1. , xn) = X~ mit 11 = I, ... 3 einsieht. Zu- = Topologie des Rn 38 sammen mit dem oben Bemerkten ergibt sich die Stetigkeit von Polynomfunktionen P(~) = = L aAl .....

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