Asymptotische Methoden zur Lösung von by Herbert Goering

By Herbert Goering

Das vorliegende WTB stellt eine Einführung in die Theorie der asymptotischen Methoden zur Lösung von Differentialgleiehungsproblemen dar. Mit den Grund­ fragen dieser Problematik beschäftigte guy sich bereits in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts. In den letzten 20 Jahren haben wichtige Anwendungsfälle der Physik und Technik das Studium der asymptotischen Methoden wieder in den Mittelpunkt des Interesses ge­ rückt und Anlaß zur Ausarbeitung einer nunmehr an­ wendungsreifen Theorie gegeben. Zur stärkeren Nutzung dieser Methoden kommt es gegenwärtig darauf an, sie in ihren Grundzügen einem breiteren Kreis von Anwendern zugänglich zu machen. Diese Aufgabe soll das WTB er­ füllen. Es wendet sich daher vorwiegend an in der Praxis tätige Ingenieure, Physiker und Mathematiker. In der Ausbildung kann es zur Gestaltung von Seminaren dienen. Da die exakte Lösung von Differentialgleichungen nur in Sonderfällen gelingt, besitzen die Näherungsmethoden eine große Bedeutung. Im wesentlichen unterscheidet guy numerische und asymptotische Näherungsmethoden. Bei der angenäherten Lösung von Differentialgleichungs­ problemen haben sich die numerischen Methoden im all­ gemeinen bewährt. Benutzt guy sie jedoch zur approxi­ mativen Berechnung der Lösungen von Differential­ gleichungen in Umgebung von Singularitäten, so werden sie meistens instabil. Bei derartigen Problemen sind die asymptotischen Näherungsmethoden geeigneter. Aus methodischen Gründen wurde eine der Zielstellung dieses WTB entsprechende einfache Darstellung gewählt.

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Sin (z - ~). 11) sind, ist kompliziert und führt auf umfangreiche Rechnungen. 12) mit den zugeordneten Ausdrücken Ul = 1 Z2 Yl(Z), U2 = 1 Z2 Y2(Z) zugrunde und beschränken uns zur Vereinfachung auf reelle x. 2) muß lim x tz [u(x) - U1 •2 (X)[ = 0 bzw. 12) ist. 2(X) konstruieren wir zunächst die den linear unabhängigen Funktionen Ul(X), U2(X) zugeordnete DGL U U' Ul ~ U'l U'2 u" Ut" = o. ~" Da eine Determinante ihren Wert nicht ändert, wenn man Vielfache einer Parallelzeile addiert, folgt hieraus = o.

Man bezeichnet sie als charakteristische Gleichung. 10) die charakteristische Gleichung. 7) führt dann nur im Falle Ä1 =l= 1 2 zum Ziel. 10) müssen APR mit gebrochenem Exponenten in zangesetzt werden. Wir kommen darauf noch zurück. 2. Lineare DGL 2. Ordnung DGL nullter Ordnung + -z1 y"(z) y'(z) + y(z) = Wegen Yl = Y2 = 0 hat sie für z Singularität. Mit der Substitution Y = Ifi e -2" Z-dZ = 00 O. 6) u"(z) + q(z) u = 0, Es ist ao = 1, al = 0, a2 q(z) = 1 1 = 4' a = ,l + 4z1 2 • 0 für v > 3. 12) V = 1,2,3, ....

1. Liegt die DGL in Form eines Systems von DGL 1. , ... , "', Yn im betrachteten Bereich einer LIPscHITz-Bedingung < L \(z, Yl*' ... , Yn *,8) - (z, Yl**' ... 2) genügen. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die partiellen Ableitungen dieser Funktionen nach den Variablen. Yb ... , < UYl L, ... , < uYn L, v = 1, "', n. In der Theorie der DGL bezeichnet man diese Tatsache als Satz von der stetigen Abhängigkeit der Lösungen von den Koeffizienten. Sie hat prinzipielle Bedeutung für die Lösung realer Probleme.

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