Analysis III by Prof. Dr. Christian Blatter (auth.)

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Hilfssiitze Im niichsten Abschnitt werden wir das Verhalten des 10rdanschen MaBes unter linearen Abbildungen L: IRm -> IRm untersuchen. Hierzu mlissen wir weiteres Material aus der linearen Algebra bereitstellen. P(IRm) eine fest gewiihlte lineare Abbildung. 9) gibt es einen wohlbestimmten Vektor tional repriisentiert: ayE IRm , der dieses Funk- 52 23. ich linear von y·ab. 3) durch skalare Multiplikation mit e/ und somit wegen (1): dabei haben wir auf ~ ebenfalls (2) angewandt. Nach (3) gehen die Matrizen [L] und [~] durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen, kurz: durch Transponierung auseinander hervor.

Ac~, AcE, I Die Verifikation von (a) und (b) Uberlassen wir dem Leser. we iter rd(A u B)c AuB=A uE= A u rdA u~urdB Mit (b) folgt cAuBurdAurdB. Da aber rd(A u B) und Au B punktfremd sind, muB (c) zutreffen. - FUr den Beweis von (d) beachten wir, daB allgemein gilt: rdA = rd([A). Damit k6nnen wir (d) auf (c) zurUckftihren: rd(A n B) = rd([(A n B)) = rd([A u [B) c rd([A)u rd([B) =rdAurdB. - (A Fig. 1 42 23. '" Bei (e) genUgt es, die Inklusion rdA erdA zu beweisen. Es sei also (siehe die Fig. (x).

Ein TeilwUrfel von I •. • selbst die Menge A schneidet (aber es brauchen nicht aile TeilwUrfel von I •. r die Menge A zu schneiden). (A)-~r(A) = Pr(rdA). I" Auf beiden Seiten dieser Gleichung werden namlich genau diejenigen WUrfel I •. 1)(e) benutzt. (A)~Pr(B). 1)(a). (B). I" Schneidet ein WUrfel I •. r die Menge Au B = Au B, so schneidet er wenigstens eine der Mengen A und B, unter Umstanden aber beide. 2) (t) Sind die Mengen A und B disjunkt, so gilt ~r(A) +~r(B) ~~r(A u B) . • bei hochstens einem der Summanden linker Hand mitgezlihlt.

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