Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] by Walter Gubler

By Walter Gubler

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Gr >:= Rg1 + · · · + Rgr das kleinste Ideal, das g1 , . . , gr enth¨ alt. Beweis: Es ist trivial zu zeigen, dass R · gj ein Ideal ist. 14 wissen wir, dass die Summe zweier Ideale wiederum ein Ideal ist und damit insbesondere auch < g1 , . . , gr >. Beachte, dass dieser Ausdruck auch g1 , . . , gr enth¨ alt, da wir gj = 0 · g1 + · · · + 0 · gj−1 + 1 · gj + 0 · gj+1 + · · · + 0 · gr schreiben k¨onnen. Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass < g1 , . . , gr > das kleinste Ideal ist, das g1 , .

3. HAUPTIDEALE 63 ”⇐” Trivial. 6. Ist R ein Integrit¨ atsbereich, so kann man die bereits bekannte Teilbarkeitlehre verallgemeinern. Wir definieren hierf¨ ur analog zu den bereits bekannten F¨ allen folgende Begiffe: a ∈ R heißt genau dann irreduzibel, wenn a ∈ / R∗ ∪ {0} erf¨ ullt ist und ∗ ∗ zudem a = bc ⇒ b ∈ R ∨ c ∈ R gilt. a ∈ R heißt genau dann prim, wenn a ∈ / R∗ ∪ {0} und a|bc ⇒ a|b ∨ a|c erf¨ ullt ist. Seien a, b ∈ R. Dann heißt d der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von a und b, wenn d|a und d|b sowie c|a ∧ c|b ⇒ c|d erf¨ ullt ist.

Iii) −a = (−1)a iv) a(b − c) = ab − ac und (b − c)a = ba − ca ¨ Beweis: Verbleibt zur Ubung. 4. Ein K¨orper ist ein kommutativer Ring K so, dass K \ {0} eine Gruppe ist. 5. Beispiele f¨ ur kommutative Ringe sind ohne weiteres zu finden. Das bekannteste Beispiel ist nat¨ urlich Z. Bei K¨orpern kennen wir Q, R und C. Wie sieht es aber mit Ringen aus, die nicht kommutativ sind? Als Beispiel hierf¨ ur wollen wir Mn×n (K), den Ring der n×n-Matrizen mit Eintr¨agen im K¨orper K anf¨ uhren. Die Ringeigenschaften lassen sich recht einfach nachweisen.

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