Abhandlungen über die Algebraische Auflösung der Gleichungen by N. H. Abel, E. Galois

By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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Eine symmetrische Function der Wurzeln ist; v ist eine rationale Fuuction der Wurzeln. Man schliesst daraus: vffl -R=O. Zufolge § 11 ist es unmöglich, den Grad dieser Gleichung zu erniedrigen; mithin muss die Function v nach dem letzten Satze des vorigen Paragraphen m verschiedene Werte haben. Da die Anzahl m dieser Werte ein Teiler des Products 1· 2 . 3 . 4 . 5 sein muss, so kann diese Zahl gleich 2 oder gleich 3 oder gleich 5 sein. Nun existiert aber (§ IU) keine Function von fünf Veränderlichen, welche 3 Werte hätte; folglich muss man m = 5 oder m = 2 haben.

An- 1 = - 1, 56 Abel. und da p wesentlich positiv ist: 2n+ 1 P=-4~-· Dieser Wert von p giebt VP= ~ V2n-+ T. Folglich ist die Quadratwurzel, welche man ausziehen muss, die Quadratwurzel aus 2n + 1, wie Gau s s behauptet hat. *) *) In dem Falle, wo n eine ungerade Zahl ist, kann man sogar die Ausziehung dieser Quadratwurzel umgehen. Über die algebraische Auflösung' der Gleichungen. (Oeuvres completes) lSB1} Bel. 11 S. 217). --li"- Eins der interessantesten Probleme der Algebra ist dasjenige der algebraischen Auflösung der Gleichungen.

F(l}n-lx2 ))'] Ym, ~[(FX2)' + n - l x m) )'] • =n:1 [ eFx",)'+(F(l}xm))' + ... + (F(/} Addiert man diese letzteren Gleichungen, so erhält man den Wert von y~ "+ Y; + y; + ... x. J2+ Y3+"·+ Ym Die rechte Seite dieser Gleichuug lässt sich rational durch die Coefficienten von ~(x) und {}x, d. h. durch bekannte Grössen ausdrücken. Setzt man also: 20) r, = Y~ + y; + Y~ + ... + y~, so hat man den Wert von r v für einen beliebigen ganzzahligen Wert von Y. 1·3' ••• , 1'"" kennt, daraus den Wert jeder symmetrischen Function der Grösscn Yll Y2, ...

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